Magic Square (마방진) - 4배수가 아닌 짝수

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Magic Square (마방진) - 4배수가 아닌 짝수

Programing 조회 수 2167 추천 수 0 2016.07.15 09:12:45

LynX *.144.94.107 https://tocup.net/tech/62944

아마도 이번 포스팅이 끝나면 모든 차수의 마방진 풀이법이 완료될 것이다.

바로 시작해 보도록 하자.

다음은 6차 마방진의 진행과정이다.

다음의 표와 같이 방진의 대각선을 구분짓자.

여기서 다음표와 같이 색칠되어진 대각선에 포함되는 칸은 순차적으로 기록을 하고 색칠되지 않은 칸은 역으로 숫자를 기록하자.

1	35	34	33	32	6
30	8	28	27	11	25
24	23	15	16	20	19
18	17	21	22	14	13
12	26	10	9	29	7
31	5	4	3	2	36

그리고 방진의 가로에서 시작점으로부터 3번째칸과 4번째칸의 경계를 기준으로 좌우로 경계선을 나누는데, 여기서 주의할 점은 경계선이 좌상-우하 대각선을 지나는 시점에서 좌측으로 1칸 이동하고 우상-좌하 대각선을 지나는 시점에서는 다시 우측으로 한칸이동된다는 점이다.

세로도 역시 시작점으로부터 3번째칸과 4번째칸의 경계를 기준으로 상하로 경계선을 나누는데, 여기서도 마찬가지로 경계선이 좌상-우하 대각선을 지나는 시점에서 위로 1칸 이동하고 우상-좌하 대각선을 지나는 시점에서는 다시 아래로 한칸이동된다는 점이다.

글로 설명을 이해하기에 많이 힘이들기 때문에 다음 그림을 참고하자.

1	35	34	33	32	6
30	8	28	27	11	25
24	23	15	16	20	19
18	17	21	22	14	13
12	26	10	9	29	7
31	5	4	3	2	36

파란색 경계선의 오른쪽에서 아래 그림의 파란색과 같은 패턴에 해당하는 칸을 하나의 구역으로 나누고,

녹색 경계선의 아래쪽에서는 녹색과 같은 패턴에 해당하는 칸을 하나의 구역으로 나눈다.

1	35	34	33	32	6
30	8	28	27	11	25
24	23	15	16	20	19
18	17	21	22	14	13
12	26	10	9	29	7
31	5	4	3	2	36

나누어진 구역중 파란색 구역은 상하중앙을 기준으로 위치교환을 하고,

녹색구역은 좌우중앙을 기준으로 위치교환을 한다.

1	35	34	3	32	6
30	8	28	27	11	7
24	23	15	16	14	19
13	17	21	22	20	18
12	26	9	10	29	25
31	2	4	33	5	36

형성된 마방진의 구역나눔표시와 경계선들을 지우면 다음과 같이 마방진이 완성된다.

1	35	34	3	32	6
30	8	28	27	11	7
24	23	15	16	14	19
13	17	21	22	20	18
12	26	9	10	29	25
31	2	4	33	5	36

4의 베수가 아닌 마방진중 6차마방진이 가장 작은 것이라 상단에서 제시한 위치교환 패턴이 눈에 잘 들어오지 않을수도 있고 패턴을 작성하는 경계선의 정확한 구분점도 잘 눈에 들어오지 않는다.

그리고 6차마방진의 경우 3번째와 4번째의 경계가 정확히 절반으로 형성되기 때문에 경계선 작성시의 특이점들이 보이지가 않는다.

그래서 10차와 14차 마방지의 변환과정을 한번 더 보도록 하자.

① 방진 기초 배열 기록 과 경계선 작성

1	99	98	97	96	95	94	93	92	10
90	12	88	87	86	85	84	83	19	81
80	79	23	77	76	75	74	28	72	71
70	69	68	34	66	65	37	63	62	61
60	59	58	57	45	46	54	53	52	51
50	49	48	47	55	56	44	43	42	41
40	39	38	64	36	35	67	33	32	31
30	29	73	27	26	25	24	78	22	21
20	82	18	17	16	15	14	13	89	11
91	9	8	7	6	5	4	3	2	100

1	195	194	193	192	191	190	189	188	187	186	185	184	14
182	16	180	179	178	177	176	175	174	173	172	171	27	169
168	167	31	165	164	163	162	161	160	159	158	40	156	155
154	153	152	46	150	149	148	147	146	145	53	143	142	141
140	139	138	137	61	135	134	133	132	66	130	129	128	127
126	125	124	123	122	76	120	119	79	117	116	115	114	113
112	111	110	109	108	107	91	92	104	103	102	101	100	99
98	97	96	95	94	93	105	106	90	89	88	87	86	85
84	83	82	81	80	118	78	77	121	75	74	73	72	71
70	69	68	67	131	65	64	63	62	136	60	59	58	57
56	55	54	144	52	51	50	49	48	47	151	45	44	43
42	41	157	39	38	37	36	35	34	33	32	166	30	29
28	170	26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	181	15
183	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	196

② 특정패턴구역 위치교환

1	99	98	97	6	5	94	3	92	10
90	12	88	17	86	85	14	83	19	11
80	79	23	74	26	25	77	28	22	71
70	62	38	34	65	66	37	33	69	31
51	59	53	47	45	46	44	58	42	60
41	49	43	57	55	56	54	48	52	50
40	32	68	64	35	36	67	63	39	61
21	29	73	24	76	75	27	78	72	30
20	82	13	87	15	16	84	18	89	81
91	2	8	4	96	95	7	93	9	100

1	195	194	193	10	191	8	7	188	5	186	3	184	14
182	16	180	25	178	23	176	175	20	173	18	171	27	15
168	167	31	158	38	160	36	35	163	33	165	40	30	155
154	142	54	46	145	51	147	148	48	150	53	45	153	43
127	139	129	67	61	132	64	63	135	66	60	138	58	140
126	114	82	116	80	76	119	120	79	75	123	73	125	71
99	111	101	95	103	93	91	92	90	108	88	110	86	112
85	97	87	109	89	107	105	106	104	94	102	96	100	98
84	72	124	74	122	118	77	78	121	117	81	115	83	113
57	69	59	137	131	62	134	133	65	136	130	68	128	70
56	44	152	144	47	149	49	50	146	52	151	143	55	141
29	41	157	32	164	34	162	161	37	159	39	166	156	42
28	170	17	179	19	177	21	22	174	24	172	26	181	169
183	2	12	4	192	6	190	189	9	187	11	185	13	196

위의 10차와 14차를 통하여 해법이 이해되었으리라 생각된다.

더 이상의 예를 보여줄 필요는 없다 생각 되기에 마지막으로 php코드를 보도록 하자.

이 코드는 우측상단에서 시작하여 좌측 하단으로 끝나는 4배수가 아닌 짝수 마방진의 풀이법을 구현해본 코드는 다음과 같다.

$k = 1 ;
for ( $i=0 ; $i < $square ; $i++ )
{
for ( $j=($square-1) ; $j >= 0 ; $j-- )
{
  if (($i == $j ) or ($i+$j+1 == $square))
  {
   $sq[$i][$j] = $k ;
  }
  elseif (((($i+$j)%2 == 0) and ((($i+$j >= $square) and ($j < $square/2)) or (($i-$j > 0) and ($i < $square/2) and ($i > 2)) or (($j-$i > 0) and ($i >= $square/2)) or (($i+$j < $square) and ($j >= $square/2) and ($i > 1)))) or ((($i+$j)%2 == 1) and ((($i+$j < $square) and ($i >= $square/2)) or (($j-$i > 0) and ($j < $square/2) and ($i > 1)) or (($i-$j > 0) and ($j >= $square/2)) or (($i+$j > $square) and ($i < $square/2) and ($i > 2)))))
  {
   $sq[$i][$j] = $square*$square-$k+$square-$j*2 ;
  }
  elseif (((($i+$j)%2 == 0) and ((($j-$i > 0) and ($j < $square/2)) or (($i+$j >= $square) and ($i < $square/2) and ($j < $square-2)) or (($i+$j < $square) and ($i >= $square/2)) or (($i-$j > 0) and ($j >= $square/2) and ($j < $square-3)))) or ((($i+$j)%2 == 1) and ((($i-$j > 0) and ($i < $square/2)) or (($i+$j < $square) and ($j >= $square/2) and ($j < $square-3)) or (($i+$j >= $square) and ($j < $square/2)) or (($j-$i > 0) and ($i >= $square/2) and ($j < $square-2)))))
  {
   $sq[$i][$j] = ($i*2+1)*$square-$k+1 ;
  }
  else
  {
   $sq[$i][$j] = $square*$square-$k+1 ;
  }
  $k++ ;
}
}

여기서 $square는 차수를 의미하며, $i와 $j는 행열을 의미한다.

: 4; 4배수; code; coding; Magic; magicsquare; php; Source; Square; 계산; 마방진; 소스; 완전마방진; 짝수; 코드; 코딩; 홀수

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